A generalization of Mehta-Wang determinant and Askey-Wilson polynomials

Motivated by the Gaussian symplectic ensemble, Mehta and Wang evaluated the n×n determinant det((a+ j− i)Γ(b+ j + i)) in 2000. When a = 0, Ciucu and Krattenthaler computed the associated Pfaffian Pf((j− i)Γ(b+ j + i)) with an application to the two dimensional dimer system in 2011. Recently we have generalized the latter Pfaffian formula with a q-analogue by replacing the Gamma function by the moment sequence of the little q-Jacobi polynomials. On the other hand, Nishizawa has found a q-analogue of the Mehta–Wang formula. Our purpose is to generalize both the Mehta-Wang and Nishizawa formulae by using the moment sequence of the little q-Jacobi polynomials. It turns out that the corresponding determinant can be evaluated explicitly in terms of the Askey-Wilson polynomials. Résumé. Motivés par des travaux sur ensemble Gaussien symplectique, Mehta et Wang sont amenés à calculer le déterminant det((a+ j− i)Γ(b+ j + i)) de taille n×n en 2000. Lorsque a = 0, Ciucu et Krattenthaler ont calculé le Pfaffien Pf((j− i)Γ(b+ j + i)) avec une application au système à deux dimènsions dimeres en 2011. Récemment nous avons généralisé le dernier Pfaffien avec un q-analogue en remplacant la fonction Gamma par les moments de petits q-polynômes de Jacobi. Par ailleurs, Nishizawa a trouvé un q-analogue de la formule de Mehta-Wang. Dans cet article nous démontrons une formule qui généralise à la fois la formule de Mehta-Wang et celle de Nishizawa en utilisant les moments de petits q-polynômes de Jacobi. Il en resulte que le determinant correspondant peut s’écrire de facon explicite à l’aide des polynômes de Askey-Wilson.